主值(对数)

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复数 z 在区间 [0, 2π) 内的对数称为它的本值。也可以选择区间 (−π, π] 来计算。

复数 z = r · e^iφ 的对数是

ln z = ln r + (φ + 2kπ) i

你把一个复数用极值符号写成 z = r · e^iφ。假设其中的对数是复数 x + i y，那么就可以得到

然后

所以

ln z = ln r + (φ + 2kπ) i

复数的对数有无限多的值，这些值的实部 ln r 都是相同的，而在虚部总是相差 2π 的倍数。

对于 k = 0，你可以得到主值。

对数 −1 的本金值为